Калькулятор комплексных чисел. вычисление выражений с комплексными числами

Возведение комплексных чисел в степень

Начнем со всеми любимого квадрата.

Пример 9

Возвести в квадрат комплексное число

Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей  и перемножить числа по правилу умножения многочленов.

Второй способ состоит в применении известной школьной формулы сокращенного умножения :

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:. Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба суммы и куба разности. Но эти формулы более актуальны для задач комплексного анализа, поэтому на данном уроке я воздержусь от подробных выкладок.

Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ю, 10-ю или 100-ю степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде ?

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень  справедлива формула:

Данная формула следует из правила умножения комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме: чтобы найти произведение чисел ,  нужно перемножить их модули и сложить аргументы:

Аналогично для показательной формы: если , то:

Просто до безобразия.

Пример 10

Дано комплексное число , найти .

Что нужно сделать? Сначала нужно представить данное число в тригонометрической форме. Внимательные читатели заметили, что в Примере 8 мы это уже сделали:

Тогда, по формуле Муавра:

Упаси боже, не нужно считать на калькуляторе , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляет  радиан или 360 градусов. Выясним сколько у нас оборотов в аргументе . Для удобства делаем дробь правильной: , после чего становится хорошо видно, что можно убавить один оборот: . Надеюсь всем понятно, что  и  – это один и тот же угол.

Таким образом, окончательный ответ запишется так:

Любители стандартов везде и во всём могут переписать ответ в виде: (т.е. убавить еще один оборот и получить значение аргумента в стандартном виде).

Хотя  – ни в коем случае не ошибка.

Пример 11

Дано комплексное число , найти . Полученный аргумент (угол) упростить, результат представить в алгебраической форме.

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.

Пример 12

Возвести в степень комплексные числа , ,

Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.

Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:

Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и»,  получая четную степень:

Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:

Пример 13

Возвести в степень комплексные числа ,

Это пример для самостоятельного решения.

Точность вычисления выражений

По умолчанию точность вычисления 6 знаков после десятичной точки. Для изменения точности вычислений используйте кнопку .

Функции

Команда Действие С Стереть все формулы AC Отмена действий + сложение − вычитание * умножение / или : деление ^ возвести в степень := присвоить переменной значение = или выполнить вычисления и выводить результат sqrt(·) или (·)^(1/2) извлечение квадратного корня log( ) вычислить логарифм по основанию 10 ln( ) вычислить натуральный логарифм

Команда Действие sin( ) вычислить синус cos( ) вычислить косинус tg( ) вычислить тангенс ctg( ) вычислить котангенс arcsin( ) вычислить арксинус arccos( ) вычислить арккосинус arctg( ) вычислить арктангенс arcctg( ) вычислить арккотангенс sinh( ) вычислить гиперболический синус cosh( ) вычислить гиперболический косинус tanh( ) вычислить гиперболический тангенс ctanh( ) вычислить гиперболический котангенс

Как пользоваться инженерным калькулятором – на примерах

Как возвести в степень

Чтобы возвести, к примеру, 12^3 вводите в следующей последовательности:

12 3

12, клавиша «икс в степени игрик» , 3, знак равенства

Ответ: 1728

Как найти корень кубический

Допустим, что мы извлекаем корень кубический из 729, нажмите в таком порядке:

729

729, «кубический корень из икс», равенства

Как найти корень на калькуляторе

Задача: Найти квадратный корень 36.

Решение: всё просто, нажимаем так:

36 y√x] 2

36, «корень из икса, в степени игрик», нужную нам степень 2, равно

Ответ: 6

При помощи этой функции вы можете найти корень в любой степени, не только квадратный.

Как возвести в квадрат

Для возведения в квадрат онлайн вычислительная программа содержит две функции:

«икс в степени игрик», «икс в квадрате»

Последовательность ввода данных такая же, как и раньше – сначала исходную величину, затем «x^2» и знак равно, либо если не квадрат, а произвольное число, необходимо нажать функцию «x^y», затем указать необходимую степень и так же нажать знак «равно».

Например: 45 6

Ответ: сорок пять в шестой степ. равно 8303765625

Сопряженные числа и их свойства

Пусть —
комплексное число. Число ,
отличающееся от числа лишь знаком
при мнимой части, называется числом, сопряжённым с .

Свойства сопряжённых чисел

1) (число,
сопряжённое сопряжённому числу, равно данному числу);

2) если и —
комплексные числа, то и
(число, сопряжённое
с суммой двух чисел, равно сумме чисел, сопряжённых со слагаемыми и число, сопряжённое с
произведением, равно произведению чисел, сопряжённых с сомножителями).

3) если ,
то и
— положительное
действительное число, равное нулю тогда и только тогда, когда ,
т. е. когда и
.

Пример 8. Даны комплексные числа
и
. Убедиться
в справедливости свойств сопряжённых чисел.

Решение. Сопряжёнными данным комплексным числам являются числа
и . Сумма данных комплексных чисел:

,

а произведение:

.

В свою очередь

,

Таким образом, справедливость свойств сопряжённых чисел доказана.

Комплекс операций инженерного калькулятора

Встроенный математический калькулятор поможет вам провести самые простые расчеты: умножение и суммирование, вычитание, а также деление. Калькулятор степеней онлайн быстро и точно возведет любое число в выбранную вами степень.

Представленный инженерный калькулятор содержит в себе все возможные вариации онлайн программ для расчетов. Kalkpro.ru содержит тригонометрический калькулятор (углы и радианы, грады), логарифмов (Log), факториалов (n!), расчета корней, синусов и арктангенсов, косинусов, тангенсов онлайн – множество тригонометрический функций и не только.

Работать с вычислительной программой можно онлайн с любого устройства, в каждом случае размер интерфейса будет подстраиваться под ваше устройство, либо вы можете откорректировать его размер на свой вкус.

Ввод цифр производится в двух вариантах:

• с мобильных устройств – ввод с дисплеем телефона или планшета, клавишами интерфейса программы
• с персонального компьютера – с помощью электронного дисплея интерфейса, либо через клавиатуру компьютера любыми цифрами

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

      Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.

      Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел  и  записанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам

      Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

      При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

      Возведение комплексного числа   z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле

      Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Инженерный калькулятор онлайн

Спешим представить всем желающим бесплатный инженерный калькулятор. С его помощью любой учащийся может быстро и, что самое главное, легко выполнять различного рода математические вычисления онлайн.

Открыть в новом окне

Инженерному калькулятору под силу выполнить как простые арифметические действия, так и довольно сложные математические расчеты.

Web20calc — инженерный калькулятор, который имеет огромное количество функций, к примеру, как вычисление всех элементарных функций. Также калькулятор поддерживает тригонометрические функции, матрицы, логарифмы и даже построение графиков.

Несомненно, Web20calc будет интересен той группе людей, которая в поиске простых решений набирает в поисковых системах запрос: математический онлайн калькулятор. Бесплатное веб-приложение поможет сиюминутно посчитать результат какого-нибудь математического выражения, к примеру, вычесть, сложить, поделить, извлечь корень, возвести в степень и т.д.

В выражении можно воспользоваться операциями возведения в степень, сложения, вычитания, умножения, деления, процентом, константой ПИ. Для сложных вычислений следует указывать скобки.

Возможности инжинерного калькулятора:

1. основные арифметические действия;
2. работа с цифрами в стандартном виде;
3. вычисление тригонометрических корней, функций, логарифмов, возведение в степень;
4. статистические расчеты: сложение, среднее арифметическое или среднеквадратическое отклонение;
5. применение ячейки памяти и пользовательских функций 2-х переменных;
6. работа с углами в радианной и градусной мерах.

Инженерный калькулятор допускает использование разнообразных математических функций:

• извлечение корней (корень квадратный, кубический, а также корень n-ой степени);
• ex (e в x степени), экспонента;
• тригонометрические функции: синус — sin, косинус — cos, тангенс — tan;
• обратные тригонометрические функции: арксинус — sin-1, арккосинус — cos-1, арктангенс — tan-1;
• гиперболические функции: синус — sinh, косинус — cosh, тангенс — tanh;
• логарифмы: двоичный логарифм по основанию два — log2x, десятичный логарифм по основанию десять — log, натуральный логарифм – ln.

В этот инженерный калькулятор также включён калькулятор величин с возможностью конвертирования физических величин для различных систем измерений – компьютерные единицы, расстояние, вес, время и т.д. С помощью данной функции можно моментально произвести перевод миль в километры, фунтов в килограммы, секунд в часы и т.д.

Чтобы произвести математические расчеты, для начала введите последовательность математические выражения в соответствующее поле, затем нажмите на знак равенства и лицезрейте результат. Можно вводить значения прямо с клавиатуры (для этого область калькулятора должна быть активна, следовательно, нелишним будет поставить курсор в поле ввода). Помимо прочего, данные можно вносить при помощи кнопок самого калькулятора.

Для построения графиков в поле ввода следует записать функцию так, как указанно в поле с примерами или воспользуйтесь специально предназначенной для этого панелью инструментов (чтобы в нее перейти нажмите на кнопку с иконкой в виде графика). Для конвертации величин нажмите Unit, для проведения работ с матрицами – Matrix.

Мир математики

Достойный внимания сайт, предоставляющий после полученного ответа подробные пояснения. Работать с ним также очень легко:

вводите условия в соответствующие поля;

• выбираете нужное действие;
• после нажатия на выбранную операцию будет начато вычисление и выдан результат.

Здесь вы найдете при необходимости подробную инструкцию для работы, так что точно не запутаетесь. Доступны разные варианты вычислительных сервисов, к примеру, матричный, инженерный и прочие.

Полезный контент:

• Формат heic, чем открыть, что это такое?
• Перевод с английского на русский с транскрипцией — лучшие онлайн сервисы
• Видеодрайвер перестал отвечать и был восстановлен — что за ошибка?
• Запись видео с экрана компьютера — какие программы в этом помогут?
• Караоке онлайн петь бесплатно с баллами — какие сервисы в этом помогут

Вставка, удаление и изменение выражения.

Для удаления формулы нужно выбирать левой кнопкой мыши нужную формулу и в открывающем окне (Рис.2) нажимать на надпись ‘Удалить’. Нужно учитывать, что все формулы нужно пересчитать, т.к. при удалении переменной значение этой переменной могут быть использованы в дальнейших выражениях. Для пересчитывания нужно использовать кнопку на калькуляторе которая станет зеленым. Каждый раз, когда эта кнопка становится зеленым, нужно его нажимать для пересчитывания формул.

Для изменения формулы нужно выбирать левой кнопкой мыши нужную формулу и в открывающем окне (Рис.2) выбирать надпись ‘Изменить’. В окне калькулятора появится формула, которая можно редактировать а в конце нажимать на ‘=’ или .Нужно учитывать, что все формулы будут пересчитаны, т.к. при изменении переменной значение этой переменной могут быть использованы в дальнейших выражениях.

Для вставки формулы нужно выбирать левой кнопкой мыши ту формулу, перед которой нужно вставить формулу и в открывающем окне (Рис.2) нажимать на надпись ‘Вставить’. В окне калькулятора нужно набирать формулу и в конце нажимать на ‘=’ или .Нужно учитывать, что все формулы будут пересчитаны, т.к. при вставки переменной значение этой переменной могут быть использованы в дальнейших выражениях.

Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел

С алгебраической формой комплексного числа мы уже познакомились,  – это и есть алгебраическая форма комплексного числа. Почему речь зашла о форме? Дело в том, что существуют еще тригонометрическая и показательная форма комплексных чисел, о которых пойдет речь в следующем параграфе.

Действия с комплексными числами не представляют особых сложностей и мало чем отличаются от обычной алгебры.

Сложение комплексных чисел

Пример 1

Сложить два комплексных числа ,

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

Просто, не правда ли? Действие настолько очевидно, что не нуждается в дополнительных комментариях.

Таким нехитрым способом можно найти сумму любого количества слагаемых: просуммировать действительные части и просуммировать мнимые части.

Для комплексных чисел справедливо правило первого класса:  – от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Вычитание комплексных чисел

Пример 2

Найти разности комплексных чисел  и , если ,

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

Результат не должен смущать, у полученного числа две, а не три части. Просто действительная часть – составная: . Для наглядности ответ можно переписать так: .

Рассчитаем вторую разность:
Здесь действительная часть тоже составная:

Чтобы не было какой-то недосказанности, приведу короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: . Вот здесь без скобок уже не обойтись.

Умножение комплексных чисел

Настал момент познакомить вас со знаменитым равенством:

Пример 3

Найти произведение комплексных чисел  ,

Очевидно, что произведение следует записать так:

Что напрашивается? Напрашивается раскрыть скобки по правилу умножения многочленов. Так и нужно сделать! Все алгебраические действия вам знакомы, главное, помнить, что  и быть внимательным.

Повторим, omg, школьное правило умножения многочленов: Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

Я распишу подробно:

Надеюсь, всем было понятно, что

Внимание, и еще раз внимание, чаще всего ошибку допускают в знаках. Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство:

Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство: .

В учебной литературе и на просторах Сети легко найти специальную формулу для вычисления произведения комплексных чисел. Если хотите, пользуйтесь, но мне кажется, что подход с умножением многочленов универсальнее и понятнее. Формулу приводить не буду, считаю, что в данном случае – это забивание головы опилками.

Деление комплексных чисел

Пример 4

Даны комплексные числа , . Найти частное .

Составим частное:

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

Вспоминаем бородатую формулу  и смотрим на наш знаменатель: . В знаменателе уже есть , поэтому сопряженным выражением в данном случае является , то есть

Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на , и, чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число :

Далее в числителе нужно раскрыть скобки (перемножить два числа по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте). А в знаменателе воспользоваться формулой  (помним, что и не путаемся в знаках!!!).

Распишу подробно:

Пример я подобрал «хороший», если взять два числа «от балды», то в результате деления почти всегда получатся дроби, что-нибудь вроде .

В ряде случаев перед делением дробь целесообразно упростить, например, рассмотрим частное чисел: . Перед делением избавляемся от лишних минусов: в числителе и в знаменателе выносим минусы за скобки и сокращаем эти минусы: . Для любителей порешать приведу правильный ответ:

Редко, но встречается такое задание:

Пример 5

Дано комплексное число . Записать данное число в алгебраической форме (т.е. в форме ).

Приём тот же самый – умножаем знаменатель и числитель на сопряженное знаменателю выражение. Снова смотрим на формулу . В знаменателе уже есть , поэтому знаменатель и числитель нужно домножить на сопряженное выражение , то есть на :

Пример 6

Даны два комплексных числа , . Найти их сумму, разность, произведение и частное.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

На практике запросто могут предложить навороченный пример, где нужно выполнить много действий с комплексными числами. Никакой паники: будьте внимательны, соблюдайте правила алгебры, обычный алгебраический порядок действий, и помните, что

Электронный калькулятор: функционал и возможности

Математический калькулятор онлайн выполняет базовые операции во всех представленных на сайте версиях. Ввод данных осуществляется двумя способами. Во-первых, с помощью нажатия мышкой на электронную клавиатуру онлайн калькулятора или касанием дисплея мобильного телефона.

Второй вариант управления программой – использование клавиатуры вашего устройства – ПК или мобильного телефона, планшета. В частности, операции задаются кнопками, расположенными как на верхней, так и на боковой панели клавиатуры персонального компьютера.

Усовершенствованный функционал позволяет сразу решать целые примеры с дробями, степенями, квадратными корнями, поэтому не нужно их вычислять по очереди. Нужно просто ввести целый пример в программу онлайн; она поможет рассчитать квадратный корень, выполнить возведение в степень, рассчитать дробь.

Многофункциональный вариант программы можно также использовать для отдельных вычислений. В обычный kalkpro.ru встроены:

• Калькулятор степеней
• Калькулятор деления, умножения
• Калькулятор корней

Инженерный калькулятор сможет вычислить значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса и множество других операций.

Деление комплексных чисел

Как и при любом делении в алгебре, комплексное число нельзя делить на нуль
и на комплексное число .

При делении комплексного числа на действительное число на это число нужно
разделить и действительную, и мнимую компоненты. При делении комплексного числа на
комплексное число нужно делимое и делитель умножить на число, сопряжённое делителю.

Пример 9. Разделить комплексное число
на комплексное число
.

Решение. Умножив числитель и знаменатель дроби
на , получаем:

Автор проекта был свидетелем вопроса о том, откуда взялось 5 в знаменателе дроби.
Пояснения вызывают реакцию «А слона-то я и не заметил!». Пояснения следующие: не забываем, что мы
имеем дело с комплексными числами и знаем, что — это
не какая-нибудь переменная, а корень из минус единицы. Таким образом,

.

Пример 10. Разделить комплексное число
на комплексное число
.

Решение. Умножив числитель и знаменатель дроби
на , получаем:

Если всё же возникает вопрос, откуда в знаменателе дроби 10, смотрите пояснения в
конце предыдущего примера.

Сложение и вычитание комплексных чисел

Сложение и вычитание комплексных чисел — это безусловно, самая простая и понятная операция. Сложение/вычитание действительных частей комплексного числа переводит точку вправо/влево на действительной оси, а сложение/вычитание мнимых частей комплексного числа переводит точку вверх/вниз на мнимой оси.

Арифметически это работает так же, как объединение одинаковых членов в алгебре.

Например, если мы вычтем 1 — 4i из 3 + 2i, мы просто находим разницу действительных 3 — 1 = 2 и мнимых 2i — (-4i ) = 2i + 4i = 6i частей.

Это то же самое, что построить точку 3 + 2i и перенести ее влево на 1 единицу и вверх на 4 единицы. Получившаяся точка — это итоговый результат: 2 + 6i.

Также можно представить точки комплексной плоскости как вектор (Вектор – отрезок соединяющий две точки для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая концом). В нашем случаем началом будет начало координат (0,0), а концом сама точка. Теперь внесём знак минус под скобки, чтобы у нас было сложение:

(3 + 2i) + (-1 + 4i)

И затем построим два вектора.

Чтобы узнать результат сложения перенесём параллельно начало одного вектора в конец второго. Поскольку сложение является коммутативным, не имеет значения, каким образом мы их складываем. a+b=b+а (свойство коммутативности)

Это может показаться излишним, но вот в чем дело: понимание векторного представления сделает умножение и деление комплексных чисел намного проще.

Понятие комплексного числа

Прежде чем, мы перейдем к рассмотрению комплексных чисел, дам важный совет: не пытайтесь представить комплексное число «в жизни» – это всё равно, что пытаться представить четвертое измерение в нашем трехмерном пространстве.

Если хотите, комплексное число – это двумерное число. Оно имеет вид , где  и  – действительные числа,  – так называемая мнимая единица. Число  называется действительной частью () комплексного числа , число  называется мнимой частью () комплексного числа .

 – это ЕДИНОЕ  ЧИСЛО, а не сложение. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами:  или переставить мнимую единицу:  – от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке: 

Чтобы всё было понятнее, сразу приведу геометрическую интерпретацию. Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:
Как упоминалось выше, буквой  принято обозначать множество действительных чисел. Множество же комплексных чисел принято обозначать «жирной» или утолщенной буквой . Поэтому на чертеже следует поставить букву , обозначая тот факт, что у нас комплексная плоскость.

Комплексная плоскость состоит из двух осей: – действительная ось – мнимая ось

Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе координат (см. Графики и свойства элементарных функций). По осям нужно задать масштаб, отмечаем:

ноль;

единицу по действительной оси;

мнимую единицу  по мнимой оси.

Не нужно проставлять все значения: …–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,… и .

Да чего тут мелочиться, рассмотрим чисел десять.

Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:, , , , , , ,

По какому принципу отмечены числа на комплексной плоскости, думаю, очевидно – комплексные числа отмечают точно так же, как мы отмечали точки еще в 5-6 классе на уроках геометрии.
Рассмотрим следующие комплексные числа: , , . Вы скажете, да это же обыкновенные действительные числа! И будете почти правы. Действительные числа – это частный случай комплексных чисел. Действительная ось  обозначает в точности множество действительных чисел , то есть на оси сидят все наши «обычные» числа. Более строго утверждение можно сформулировать так: Множество действительных чисел  является подмножеством множества комплексных чисел .

Числа , ,  – это комплексные числа с нулевой мнимой частью.

Числа , ,  – это, наоборот, чисто мнимые числа, т.е. числа с нулевой действительной частью. Они располагаются строго на мнимой оси .

В числах , , ,  и действительная и мнимая части не равны нулю. Такие числа тоже обозначаются точками на комплексной плоскости, при этом, к ним принято проводить радиус-векторы из начала координат (обозначены красным цветом на чертеже). Радиус-векторы к числам, которые располагаются на осях, обычно не  чертят, потому что они сливаются с осями.